在复杂、非结构化的工作空间中，移动机器人能够灵活、自主地运行，使其在各类生产制造场景中得到广泛关注[1-2]。运行过程中的自动充电、自主导航、滚筒对接、多机协同作业等运行需求对移动机器人的轨迹跟踪提出了更高的精度和效率要求。

如图1所示，设定移动机器人的状态向量，为移动机器人的坐标，为质心处的速度方向，以逆时针方向为正方向。移动机器人的运动学模型[2]可表示为

式中：为移动机器人在质心处的速度；和分别为虚拟前后轮到移动机器人质心的距离；，由虚拟前轮转角和后轮转角确定，当时移动机器人处于阿克曼模式，当时移动机器人处于平移模式。

假设1：规划器的工作模式为时钟驱动，运算频率为，在计算完成后立即发送给控制器。

根据以上假设，得到实际控制时序如图2(a)所示，其中为规划器计算用时，图中用不同颜色代表不同的局部路径，混色部分表示规划器或控制器由于等待和计算造成的延时。可以看出在绕障模式下，轨迹跟踪控制器周期越长，控制器跟踪的局部路径就会有越大的延迟，从而导致固定控制周期的控制器实时性不高。本研究采用变控制周期的轨迹跟踪控制，如图2(b)所示，当移动机器人处于绕障模式时，通过动态调整控制周期，减少控制器的计算负担。

移动机器人的参考轨迹可以看作是由一个虚拟的移动机器人产生，其上每一个点都满足式(1)，用表示参考量，为了方便计算，取。将移动机器人运动学模型在参考位置处进行泰勒展开，并忽略高阶项，移动机器人的跟踪误差可以表示为

局部路径规划器所规划的参考路径往往弯曲程度较大，为得到更好的弯道跟踪效果，定义移动机器人横摆角偏差为，如图4所示。由文献[11]可知

式中为移动机器人在参考位置的曲率。

式中：为采样时间；

为采样周期。

用表示输出误差，则输出误差方程为

定义为预测时域长度，为控制时域长度，且有。在当前时刻，将控制输入序列定义为，将参考控制输入序列定义为，将参考曲率定义为，将预测输出误差序列定义为，定义预测输出误差序列，系统的预测输出误差表达式为：

式中为跟踪权重矩阵，。

式中为控制量增量权重系数矩阵，。

式中：⊗为克罗内克积；为维度为控制变量数量的单位矩阵。

以上优化问题适用于连续的控制步长，为了将控制点位置引入优化问题中，使用算法1将转化为压缩矩阵，方便优化问题的求解。压缩矩阵是单位矩阵经过移动后得到的矩阵，压缩矩阵的行数为控制时域的大小，压缩矩阵的列数和秩为控制变量自由度的数量，为。

设定为优化问题的变量，有

为了得到优化问题(5)的解，本研究将该问题转化为二次规划问题，根据式(3)、式(4)和式(6)，将优化问题转化为二次规划形式，并去除常数项，得到：

根据滚动时域控制理论，求解二次规划问题(7)得到，经式(6)转换得到控制时序内一系列控制量的变化量，将控制量序列中的第一个应用于移动机器人的控制中，即

式中为实际执行的控制量，即移动机器人质心处的速度和前轮摆角。

局部路径规划的计算复杂度主要取决于环境的复杂程度，下面基于局部路径规划时耗，设计动态调节控制器计算频率、控制时域长度和预测时域长度的调节策略，以调节滚动时域控制的求解精度和求解时间，使移动机器人满足车间场景绕障模式与正常模式共存的轨迹跟踪要求。

在正常运行模式下，滚动时域控制器只须要维持正常的计算频率，同时设置较大的和以保持更高的跟踪精度。当移动机器人处于绕障模式时，为了轨迹跟踪控制的实时性，滚动时域控制器的计算频率将根据局部路径规划模块花费的时间，在最大计算频率和之间变化。其中，当移动机器人刚进入绕障模式时，规划器尚未输出局部路径，即，此时也应增大计算频率以提高控制实时性。为此，本研究设计计算频率为

式中：为一个规划周期包含的控制周期数；和为系数，并且满足。

式中为系数。

根据以上分析，滚动时域控制器的时间复杂度可以简化为。由于滚动时域控制远离当前时刻的控制量对轨迹的影响效果小，因此可以对远期的控制量进行模糊处理，具体的方法是采用 Block‐ ing 技术[11]，对控制点的分布进行选择，使未来的控制输入点在后期保持不变，将均匀分布的控制点序列变为非均匀分布序列，如图5 所示。该方法能够在保持滚动时域控制二次规划问题求解变量数不变的同时，增加控制时域的长度，使得滚动时域控制器在运算耗时变化不大的情况下，保证更好的跟踪精度。控制点位置序列计算见算法2。

此时，滚动时域控制器的控制输入序列长度将不再与二次规划求解数量相同，设定二次规划问题求解变量数，即控制输入点的数量为，移动机器人在常规模式下控制时域的长度为，在绕障模式下控制时域的长度为。根据滚动时域控制器的时间复杂度，实际控制输入点的数量为

图5 控制输入的选取

上述计算确定了输入控制点的数量，还须要设计输入控制点的位置，以确定控制器控制时域的长度。在本研究中，控制点的位置由控制点的位置序列表示，如图6 所示。是长度为的向量，表示第个控制点须要重复的步数。本研究输入控制点位置的计算由算法 2 给出。其中控制时域的长度可以表示为

图6 输入控制点序列

为验证本研究所提采样时间自适应调节的滚动时域控制器在移动机器人轨迹跟踪过程中的控制效果，使用车辆仿真软件CarSim和Matlab/Simulink进行仿真。测试环境：CPU为英特尔®酷睿™i5-6300HQ，处理器频率为2.30 GHz，随机存取存储器(RAM)内存为16 GiB。

3.1 自适应步长调节策略

本研究所提采样时间自适应调节策略须要保证控制器的运算时间能够满足采样周期的要求。由于环境复杂程度的不同等因素，局部路径规划的计算会在一个时间范围内波动；同时，由于数据量的不同和传输过程的影响，数据到达控制模块的时间是无序的。正弦信号能够提供一个区间范围内的波动，同时其非线性特征也能给出合理的无序时间，本研究将局部路径规划耗时设置为正弦输入，最大值为0.2 s，如图7所示。

图7 局部路径规划耗时正弦输入

图8给出了采样时间自适应调节策略下的采样时间和控制器实际运行所消耗的时间，结果表明：控制器采样时间随局部路径规划耗时自适应调节，满足考虑控制时域和预测时域调节的控制要求。

图8  采样时间输入下的轨迹跟踪控制器运行时间

3.2 轨迹跟踪控制

为了验证所提轨迹跟踪控制方法的有效性，本研究进行了半实物仿真，所有配置均按照课题组自主研发的移动机器人参数进行设置。移动机器人将在如图9所示的环境中从点移动至点，其中灰色曲线为预先设定的全局路径。在地图上随机选取若干圆点作为临时障碍物，当移动机器人在全局路径上运行时，轨迹跟踪控制器对全局路径进行跟踪，规划耗时记为基准值0 s。当检测到全局路径上存在障碍物时，会调用动态窗口法[13]进行局部路径规划，记录规划耗时和时间戳用于轨迹跟踪控制器设计。设定局部路径规划器的运算频率，对比组选用传统比例和微分(PD)控制器(，)和采样时间在0.10 s和0.05 s的标准滚动时域控制器。

图9 半实物仿真测试场景

图10为跟踪效果，由图10(d)可以看出：相较于传统PD控制，滚动时域控制器跟踪得到的轨迹跟踪精度更高。观察图10(a)，当参考轨迹曲率变化较小时，标准滚动时域控制器能够很好地实现轨迹跟踪控制；但是，当参考轨迹出现较大的曲率变化时，如放大区域Ⅰ和区域Ⅱ所示，控制器可能会出现较大的偏差。在该场景下，采样时间为0.05 s的标准滚动时域控制器平均距离误差为0.71 m；对比采样时间为0.05 s和0.10 s的控制器结果可以发现，过大的采样周期也会使得轨迹跟踪控制效果不理想；而本研究所提算法由于在移动机器人跟踪误差模型中加入了曲率，跟踪误差有了明显减少，在该场景下，本研究所提算法的平均距离误差为0.52 m。

图10 轨迹跟踪控制结果

表1给出了轨迹跟踪控制评价指标，平方误差积分准则(ISE)指标越小，系统综合跟踪精度越优，所得控制量使得系统能耗更低；时间乘平方误差积分准则(ITSE)指标越小，表明系统在跟踪后期的误差越小；绝对误差积分准则(IAE)指标越小，表明系统跟踪误差之和越小。与标准滚动时域控制(RHC)相比，本研究所提算法的控制性能更优。

实时性方面，通过时间戳可以得到控制器每次迭代的计算耗时，如表2所示，相较于标准滚动时域控制方法，本研究所提算法在平均计算时间和最大计算时间上的消耗更少，实时性更好。通过记录规划器发出指令的时间和底层电机收到指令的时间，得到移动机器人开始规划到执行的延时，如图11所示。可以发现标准滚动时域控制在进入绕障模式后，因为局部路径规划器的耗时使得延时增大，而本研究所提出采样时间自适应调节的滚动时域控制算法能够保持较低的延时，具有更好的实时性。

图11 从开始规划到电机驱动的延时

04  结语

本研究提出考虑局部路径规划时耗的移动机器人轨迹跟踪控制器，用于解决移动机器人在绕障模式和正常模式下对控制器要求不同的问题。

首先提出控制步长自适应调节策略，同时设计控制器控制时域与预测时域动态调节策略，使得轨迹跟踪控制器计算触发能随绕障过程的计算耗时自适应调节，从而减轻控制器负担，提高轨迹跟踪控制器在绕障模式中的实时性。

随后，建立包含期望轨迹曲率信息的跟踪误差模型，设计适用于随机曲率路径下的轨迹跟踪控制器。

最后进行测试验证，实验结果表明本研究提出的轨迹跟踪控制器能够减少绕障模式下因控制器等待和计算导致的延时，控制精度更高。

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